Textaufgaben zu "Linearen Gleichungssystemen"

1. Aufgabe:
Eine junge Band produziert die erste CD aus eigenen Mitteln und setzt einen VK-Preis von 12,- € (Standard Edition) fest. Der Manager der Band legt noch 8.000,- € drauf und produziert damit die Gold Edition (CD plus DVD). Der Verkaufspreis hierfür beträgt 20,- €.
a) Erstelle aus diesen Angaben ein lineares Gleichungssystem.

b) Ab wie viel Stück läuft die Gold Edition besser als die Standard Edition? Berechne und zeichne.

c) Ab wie viel verkaufter Gold Edition (DVD + CD) hat der Manager seinen Einsatz wieder raus?

Tipp: y ist der Umsatz; x ist Stückzahl (Verkaufszahl); jetzt fehlen dir nur noch die m für die Steigungen und die t für die y-Achsenabshnitte. Dann mal los. [ x-Achse 1 cm --> 100 Stück; y-Achse 1 cm --> 2000 € ]

 

Lösung:

Also, die erste Gleichung für die Standard Edition ist ja wohl recht einfach.
I    y = 12 x        (t = 0, Gerade startet im Nullpunkt; sind ja auch keine Angaben gemacht zu den Kosten)
                          Die Steigung m als Bruch, also zwölf eintel muss bei diesem Koordinatensystem angepasst werden.
                          Der Bruch wird erweitert mit 500: auf 6000/500, dh. 500 nach rechts und 6000 hoch.
Bei der 2. Gleichung ist Vorsicht geboten. Hier könnte man meinen, dass man auf der y-Achse bei 8000 startet, da
                         im Text steht, dass der Manager 8000,- € draufgelegt hat. Tatsächlich ist das Geld aber investiert,
                         also starten wir bei minus 8000.
II   y = 20 x - 8000     (t = - 8000)   Wer bei + 8000 gestartet wäre, hätte schnell gemerkt, dass kein Schnittpunkt
                                                           existiert.
Jetzt kann das Gleichungssystem mittels Gleichsetzungsverfahren gelöst werden. Es interessiert eigentlich nur der x-Wert, denn das bringt mir die Verkaufszahlen. [Lösung: x = 1000]
Tipp für c): schau auf die Zeichnung der Gold Edition, dann Berechnung der ...

Graphische Lösung (Denke immer dran: es geht hier nur um zwei Geraden - und da brauchst du den Schnittpunkt) Oberster Wert auf y-Achse nicht 14000 sondern 16000). Sorry.

Noch ganz wichtig:           Antwortsätze bei Textaufgaben!                                b) Gold Edition läuft ab 1000 verkauften Scheiben besser als die Standard.    c) Der Einsatz des Managers von 8000,- €  ist ab verkauften 400 Stück wieder drin. Manche von euch hätten vlt. gerechnet: 8000 : 20 = 400 . Ok, stimmt, aber es ist wirklich wichtig zu verstehen und den Transfer zur Graphik zu machen, dass die Lösung dieser Frage genau der Nullstelle der Geradengleichung II, also y = 20x - 8000  entspricht. Also nochmals: es gibt bei diesem Aufgabentyp eigentlich nur zwei Sachen, die du berechnen kannst, nämlich den Schnittpunkt von zwei Geraden und die Nullstelle einer Geraden. Eventuell kommt noch der Schnittpunkt mit der y-Achse ins Spiel (das ist das t von y = mx + t). Dies ist meist der Ausgangspunkt einer Story (=Geraden), manchmal ist dieser Wert etwas "verschlüsselt" (hier: t = - 8000).

Lineare Gleichungssysteme - omg

Bsp.: Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren

Übungen Lineare Gleichungssysteme (Übungen zum 3. Leistungstest - ein MUSS für jeden)

Lösungen lin. Gl.Systeme

Weitere Übungen zum 3. LT

Flächen im KO-System mittels Determinanten

Zunächst wird dir Fläche eines Parallelogramms mittels der Determinanten berechnet. Zum Vergrößern auf das Bild klicken.

Also die Berechnung einer Determinanten ist wirklich recht einfach: man nimmt das Produkt der ersten Diagonalen minus dem Produkt der zweiten Diagonalen.

Etwas konzentriert sollte man arbeiten, wenn bei den Vektoren negative Koordinaten stehen.

Fläche eines Dreiecks
Jeder kennt die Formel:  A=0,5*g*h   (also einhalb mal eine Grundseite mal zugehöriger Höhe). Liegt keine der Höhen parallel zur x-Achse bzw. zur y-Achse, dann hat man ein Problem.

Mittels der Determinaten und Vektoren ist das schnell gelöst. Und dran denken: wenn man ein Parallelogramm halbiert, hat man zwei gleichgroße Dreiecke. Deshalb kommt 1/2 vor die Determinante!

Noch zwei Beispiele (zum Vergrößern anklicken)

Übungen zum Ausklammern (7. Klasse)

Beim Ausklammern einer Zahl (oder einer negativen Zahl) aus einem größeren Term passiert folgendes: alle Zahlenwerte des größeren Terms werden dividiert durch den Faktor, der ausgeklammert werden soll. Dein Taschenrechner kann das richtig gut. Also siehe Bsp.1:
-3x² geteilt durch (-3) bleibt x²
-9x geteilt durch (-3) bleibt +3x
+15 geteilt durch (-3) bleibt -5

Flächen

Funktionale Abhängigkeiten

Einbeschreibungsaufgabe oder "Verlängern/Verkürzen" also schlau gesagt:

Funktionale Abhängigkeiten

Das Schema ist immer gleich: eine Seite wird um x cm velängert, die andere um vlt.

3x verkürzt. Zeichnen für vlt. x = 0,5 , dann wird um 0,5 verlängert und um 1,5 (3*0,5) verkürzt.

Det Janze allg. für x aufstellen und dann sollte das Zwischenergebnis rauskommen.

Danach sucht man noch das x für das die z. B. Fläche maximal wird. (siehe drei Beispiele unten)

Seite 54/1 speziell für 9f RSW

Vorbereitung 2. Schulaufgabe oder Leistungsnachweis 9. Klasse II/III Realschule

 

Hier nochmal eine Extremwertaufgabe.
Die allg. Flächen A(x) der Parallelogramme lauten: A(x) = (- 2x² + 12x) FE
Gesucht ist das Parallelogramm mit der größten Fläche.
Ganz klar: Lösung über die "Quadratische Ergänzung" aus der 8. Klasse.

A(x) = (- 2x² + 12x)                                       zuerst den Faktor (-2) ausklammern

                  = (-2) (x² - 6x)                                       jetzt die 6 halbieren und ins Quadrat und ergänzen und subtrahieren

                  = (-2) (x² - 6x + 9     -9)                        die ersten drei Terme in der Klammer ergeben ein Binom

                  = (-2) [ (x - 3)²     - 9]                            Binom hinschreiben und letztlich die (-2) in die eckige Klammer

                  = (-2) (x - 3)²  + 18                              die (-2) niemals ins Binom ziehen - böses Foul

                   Für    x = 3  ist Amax = 18 FE           immer sauberer Antwortsatz (x=3, da Wert der Klammer Null sein muss. Mal angenommen A(x) = (-2) (x + 3,5)² + 10 , dann: für x = -3,5 ist Amax = 10 FE.

 

Dieser Aufgabentyp sollte allen sowas von klar sein.

Jeder kann beim Zwischenergebnis anfangen, auch wenn man mal nicht dort hinkommt.

 

 

 

Die Themen für die 2. Schulaufgabe 9. Klasse bzw. 2. Leistungstest

 

Flächenberechnung und/oder Umfang von geometrischen Figuren (zusammengesetzt).

Formeln alle in Formelsammlung. Aufpassen, was gefragt wird:

bei Flächen bitte keine Umfang-Formeln benutzen und umgekehrt!!!!!!!!!!!!!

 

Einbeschreibungsaufgabe oder "Verlängern/Verkürzen" also schlau gesagt:

Funktionale Abhängigkeiten

Das Schema ist immer gleich: eine Seite wird um x cm velängert, die andere um vlt.

3x verkürzt. Zeichnen für vlt. x = 0,5 , dann wird um 0,5 verlängert und um 1,5 (3*0,5) verkürzt.

Det Janze allg. für x aufstellen und dann sollte das Zwischenergebnis rauskommen.

Danach sucht man noch das x für das die z. B. Fläche maximal wird.

 

Lineare Gleichungssysteme lösen. (9 f RSW: im 3. Leistungstest)

Gleichsetzen, Einsetzen, Lösung über Zeichnung ev. kontrollieren.

Zeichnen kannst du erst, wenn du die Form   y = mx + t  hast!!!

Bitte dran denken - es sind wirklich nur 2 Geraden, die sich schneiden oder mal

parallel verlaufen, wenn Steigung gleich ist (Lösungsmenge ist dann leer).

Falls sie mal aufeinander liegen, gibt es unendlich viele Lsg., nämlich alle Punkte

der Geraden. Kommt aber eher selten vor!

Bitte auch nochmal einen Blick auf besondere Geraden werfen (parallel zur x-Achse
oder parallel zur y-Achse).


Pythagoras (kommt direkt nach den "Reellen Zahlen" dran)

Skizze mit rechtwinkligem Dreieck
Skizze mit rechtwinkligem Dreieck

Zwei Rennradfahrer trafen sich an der Kreuzung zweier Straßen, die auf einer Strecke von mindestens 30 km orthogonal (=rechtwinklig) aufeinander zulaufen. Als sie starteten, legte sich der eine mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 40 km/h, der andere mit 35 km/h „genau 30 Minuten in die Pedale“. Wie weit waren beide Fahrer voneinander entfernt (Luftlinie), als sie starteten?

Schrägbilder von Pyramiden

Œ

ΠGanz wichtig: Beim Zeichnen beginne immer mit der Seite, die auf der
     Schrägbildachse liegt (manchmal muss diese Seite zuerst berechnet werden).
  Denke daran: immer die Seiten in der Schräge bzw. Tiefe zu halbieren
     und mit 45° (auch mal 30°) abzuschrägen.

 

Ž Denke daran: die Winkel sind alle verzerrt (Ausnahme: die Winkel in der  
     Schrägbildebene).

 

 Tipp: Bau dir die Pyramide auf deinem Arbeitsplatz auf, klappe die Seitenflächen  
     nach vorne bzw. zur Seite weg, bis sie senkrecht zur Grundfläche stehen, dann
     erkennst du die rechten Winkel gang genau!

 

 

 

Mögliche Formen bezüglich der Grundfläche:

 

  • Quadrat                                   A = a²
  • Rechteck                                 A = a * b    
  • Raute                                      A = ½ * e * f
  • Drachenviereck                        A = ½ * e * f
  • Trapez                                     A = ½ *(a + c) * h
  • gleichschenkliges Dreieck          A = ½ * g * h
  • gleichseitiges Dreieck                A = ½ * a * a * sin(60°)

 



 

Formel für das Volumen einer Pyramide:    V = ⅓ * G * h

 

 

Formel für die Oberfläche einer Pyramide:  (falls 4 Seiten) 
A = G + ASeite1 + ASeite2 + ASeite3 + ASeite4