Quadratische Gleichungen (Nullstellen einer Parabel)
Sinus-Satz for beginners
Wenn man es ganz einfach machen will, ist der Sinus-Satz nichts anderes als eine Gleichung zweier Quotienten-Paare (die Quotienten kann man in einigen Versionen zusammestellen). Es gilt z. B.
Am einfachsten ist vielleicht: du suchst zuerst in der Skizze nach einem geeigneten Pärchen (etwa b = 3,5 cm und beta = 47°). Winkel alpha = 82°. Beginne JETZT immer die Gleichung mit der gesuchte Größe, hier also a.
Winkel zwischen zwei Geraden über Tangens
1. Gegeben sind g1: y = 1/5 x + 1 und g2: y = 3/2 x + 1. Berechne den Schnittwinkel der Geraden. Tipp: der t-Wert der Geraden (y = mx + t) hat hier keinerlei Bedeutung. Es geht
nur um die beiden Steigungen! Immer Steigungsdreieck zeichnen!!! Sinnvoll als kleine Skizze.
2. Gegeben sind g1: y = 3/4 x + 3 und g2: y = - 3/5 x + 6. Berechne den Schnittwinkel der Geraden. Tipp: der t-Wert der Geraden hat hier keinerlei Bedeutung. Es geht nur um die
beiden Steigungen! Immer Steigungsdreieck zeichnen!!!
Übrigens: Ist eine Gerade mal so angegeben: 4x +2y -7 = 0 dann bitte zuerst umformen!!! Die Steigung ist nämlich nicht m = 4 (aufpassen!). Sondern:
4x + 2y - 7 = 0 | + 7
4x + 2y = 7 | - 4x
2y = - 4x + 7 | : 2
y = - 2x + 3,5 Steigung ist also m = 2 Alles klar?
Flächenberechnungen in Abhängigkeit von x
Aufgabe 5: Koordinaten in Abhängigkeit von x und Flächeninhalte
Oft wird auch gefragt, wie lauten die allgemeinen Koordinaten von Cn.
Übungen
1. Stelle die Geradengleichung auf. Gegeben: A( - 2 | 3,5 ) und B ( 4 | - 1,5 ).
Lösung: y = -5/6 x + 1,83 oder y = - 0,83 x + 1,83
2. Berechne die Nullstelle der Geraden aus 1.
Lösung: x = 2,20 N ( 2,20 | 0 ) (auf 2 NKST gerundet) genau: x =
2,196
Parabel (Allgemeine Parabelgleichung: y = ax² + bx + c)
Infos zu dieser Parabel:
Parabel ist nach unten geöffnet, da a negativ ist.
Parabel ist um 0,5 flacher als Normalparabel (NP).
Da c = 7 ist, muss die Parabel bei (0 | 7) die y-Achse schneiden. (Erinnere dich an die Geraden y = mx + t, da war es das t).
Der Scheitelpunkt liegt bei S ( 3 | 11,5 ).
Den werden wir noch genau berechnen.
Parabel (Scheitelpunktsform: y = a(x - xs)² + ys)
Wenn die Parabel in der Scheitelpunktsform gegeben ist, kann man sofort den Scheitelpunkt S ablesen: S ( 3 | - 7
).
p: y = 0,3 * (x - 3)² - 7
a = 0,3 ist positiv, also ist die Parabel nach oben geöffnet.
Vorsicht! Der Wert - 7 ist nicht der Schnittpunkt mit der Y-Achse. Das kann man nur ablesen, wenn die Parabel in der allgemeinen Form
y = ax² + bx + c gegeben ist.
Aktion: Term umformen
y = 0,3 * (x² - 6x + 9) - 7
y = 0,3x² - 2x + 3 - 7
y = 0,3x² - 2x - 4
Jetzt sieht man c = - 4 (siehe Zeichnung: P ( 0 | - 4 ).
Aufgabe: (08.10.2015) Gegeben: p: y = - 0,5x² + bx + c sowie die Gerade g: y = - 3x + 5,5 . Erstelle die Parabelgleichung in der Form y = ax² + bx +c. Die Punkte P(-2|7) und Q(1|2,5) liegen auf p. Zeichne p und g. Lösung So. 19:30
